Де використовується формула різниці кубів та формула суми кубів?

Формула різниці кубів — це одна з базових алгебраїчних тотожностей, яка знаходить широке застосування в математиці. Вона виглядає так:

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

Ось основні сфери її використання:

Розкладання многочленів на множники

Це, мабуть, найпоширеніше застосування формули. Вона дозволяє розкласти двочлен, що є різницею кубів, на добуток лінійного та квадратного множників.

Наприклад:

$x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3} = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$
$27 y^{3} - 125 = (3 y)^{3} - 5^{3} = (3 y - 5) ((3 y)^{2} + (3 y) (5) + 5^{2}) = (3 y - 5) (9 y^{2} + 15 y + 25)$

Спрощення алгебраїчних виразів

Формула різниці кубів часто використовується для спрощення складних дробів або інших виразів, де є різниця кубів у чисельнику або знаменнику. Це дозволяє скоротити вираз і зробити його зручнішим для подальших обчислень.

Розв'язування рівнянь

У деяких випадках, особливо в кубічних рівняннях або рівняннях вищих степенів, де можна виділити різницю кубів, її використання допомагає спростити рівняння до добутку лінійного та квадратного рівнянь, які легше розв'язати.

Обчислення значень виразів

Формула дозволяє обчислити різницю кубів двох чисел без безпосереднього піднесення їх до куба, що може бути зручним для великих чисел.

Наприклад:

$1 0^{3} - 7^{3} = (10 - 7) (1 0^{2} + 10 \cdot 7 + 7^{2}) = 3 (100 + 70 + 49) = 3 (219) = 657$

Вища математика

У вищій математиці, зокрема в аналізі та алгебрі, ця формула може бути частиною складніших перетворень, наприклад, при інтегруванні або роботі з поліномами.

Отже, формула різниці кубів є важливим інструментом в алгебрі, який допомагає ефективно працювати з багаточленами та розв'язувати різноманітні математичні задачі.

Задача. "В акваріум помістили куб. Який об'єм буде в акваріумі"

Ні, формула різниці кубів: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ НЕ підходить для прямого обчислення об'єму вільного простору або об'єму куба в цьому конкретному фізичному завданні.

Давайте ще раз прояснимо:

Формула різниці кубів ( $a^{3} - b^{3}$ ) призначена для розкладання алгебраїчних виразів на множники або для спрощення виразів, де ви маєте різницю двох кубів. Вона дозволяє переписати $a^{3} - b^{3}$ у вигляді добутку $(a - b)$ і $(a^{2} + ab + b^{2})$ .
- Приклад її використання:
  - Спрощення дробу: $\frac{x ^{3} - 8}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{x - 2} = x^{2} + 2 x + 4$
  - Розв'язання рівняння: $y^{3} - 64 = 0 \Rightarrow (y - 4) (y^{2} + 4 y + 16) = 0$
Ваше завдання (акваріум і куб) вимагає обчислення фізичного об'єму.
- Об'єм куба: $V_{куба} = ребро^{3}$ . Для куба з ребром 2: $2^{3} = 8$ .
- Об'єм акваріума: $V_{акваріума} = ребро^{3}$ . Для акваріума з ребром 3: $3^{3} = 27$ .
- Об'єм вільного простору в акваріумі: $V_{акваріума} - V_{куба} = 27 - 8 = 19$ .

Чому не $a^{3} - b^{3}$ у випадку $3^{3} - 2^{3}$ ?

Якщо ви просто обчислите 33−23, то отримаєте:

27−8=19.

Так, результат 19 є об'ємом вільного простору в акваріумі. Але це не застосування формули різниці кубів як розкладання на множники. Це просто пряме обчислення різниці двох об'ємів, які вже є кубами.

Ви просто обчислили значення a3 та b3 і відняли їх. Ви не використовували тотожність $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ для спрощення чи перетворення виразу, а просто знайшли чисельне значення.

Формула різниці кубів використовується, коли вам потрібно розкласти вираз $a^{3} - b^{3}$ на множники $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ . У задачі з акваріумом і кубом немає потреби в такому розкладанні, ми просто рахуємо конкретні об'єми.

"Практичне застосування"

Практичне застосування цієї формули (як і інших формул скороченого множення) полягає в перетворенні та спрощенні алгебраїчних виразів, що, в свою чергу, дозволяє:

Розкладати многочлени на множники: Це є основним застосуванням. Замість того, щоб мати складний кубічний вираз, ми отримуємо добуток простіших (лінійних і квадратних) множників. Це дуже важливо в багатьох галузях математики.
- Приклад в алгебрі: Нехай у вас є вираз: x−2x3−8. Без формули, якщо $x \neq = 2$ , вам довелося б ділити многочлен у стовпчик. Застосувавши формулу різниці кубів до чисельника ( $x^{3} - 2^{3}$ ), ми отримуємо: x−2(x−2)(x2+2x+4). Тепер, якщо $x \neq = 2$ , ми можемо скоротити $(x - 2)$ , і вираз спрощується до $x^{2} + 2 x + 4$ . Це критично важливо, наприклад, при знаходженні границь функцій в математичному аналізі, де пряма підстановка може призвести до невизначеності 0/0.
Розв'язувати рівняння: Якщо у вас є рівняння, яке містить різницю кубів, її розкладання на множники допомагає знайти корені.
- Приклад: Розв'язати рівняння $y^{3} - 125 = 0$ . Використовуємо формулу: $(y - 5) (y^{2} + 5 y + 25) = 0$ . Звідси:
  - $y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5$ (дійсний корінь).
  - $y^{2} + 5 y + 25 = 0$ . Дискримінант $D = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 25 - 100 = - 75$ . Оскільки $D < 0$ , це квадратне рівняння не має дійсних коренів (має комплексні). Таким чином, формула дозволила нам легко знайти дійсний корінь кубічного рівняння, яке без її використання було б складніше розв'язати.
Спрощення складних алгебраїчних виразів: Формула дозволяє перетворити складні вирази на простіші, що полегшує подальші обчислення або аналіз. Це часто зустрічається в задачах, де потрібно довести тотожність або спростити вираз до певного вигляду.
У вищій математиці (зокрема, в інтегруванні): Хоча це вже вищий рівень, іноді при інтегруванні раціональних дробів (які містять многочлени) може знадобитися розкладання знаменника на множники, і якщо він має вигляд різниці кубів, то ця формула є необхідною.
- Наприклад, для інтегрування ∫x3−11dx, спочатку потрібно розкласти знаменник: $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ . Потім використовується метод розкладання на прості дроби.
Теоретична математика: Формули скороченого множення є базовими тотожностями, які є фундаментальними для розуміння структури многочленів, факторизації, властивостей чисел та абстрактної алгебри.

Підсумок:

Практичне застосування формули різниці кубів $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ полягає не в прямому обчисленні різниці об'ємів, а в алгебраїчних перетвореннях:

Розкладання на множники
Спрощення дробів
Розв'язування певних типів рівнянь

Це інструмент для маніпуляції виразами, який робить їх зручнішими для подальших математичних операцій.

.:Z/R\V:.

Шукати в цьому блозі