В мережі я знайшов цікавий метод знаходження коренів без калькулятор а Gemini розширив статтю більшою кількістю методів
Відкрити інстаграм
Як знайти корінь з числа без калькулятора: Чотири перевірених методи
Обчислення квадратного кореня з числа може здатися неможливим без сучасних технологій, але математики успішно справлялися з цим завданням протягом тисячоліть. У цій статті ми розглянемо чотири ефективні методи, які дозволять вам знайти корінь з будь-якого числа, використовуючи лише ручку і папір.
1. Метод ітерації (Вавилонський метод)
Це найшвидший і найефективніший спосіб отримати точне наближення. Його суть — в ітеративному поліпшенні початкового припущення, щоразу наближаючись до правильного значення.
Принцип: Якщо ви помножите два числа, щоб отримати S, то одне з них буде більше за \sqrt{S}, а інше — менше. Метод полягає у знаходженні середнього арифметичного цих двох чисел для отримання більш точного наближення.
Формула: x_{n+1} = \frac{(x_n + S/x_n)}{2}
* S — число, з якого ви шукаєте корінь.
* x_n — ваше поточне припущення.
* x_{n+1} — наступне, більш точне наближення.
Приклад (√17):
* Початкове припущення: x_0 = 4 (оскільки 4^2 = 16, що близько до 17).
* Перша ітерація: x_1 = (4 + 17/4) / 2 = (4 + 4.25) / 2 = 4.125.
* Друга ітерація: x_2 = (4.125 + 17/4.125) / 2 \approx (4.125 + 4.1212) / 2 \approx 4.1231.
2. Метод Ньютона
Метод Ньютона є більш загальним методом для знаходження коренів будь-яких функцій, і Вавилонський метод є його окремим випадком для знаходження квадратного кореня. Якщо ви шукаєте корінь з S, це еквівалентно знаходженню кореня функції f(x) = x^2 - S.
Формула: x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
Тут f'(x_n) — це похідна функції f(x). Для f(x) = x^2 - S похідна буде f'(x) = 2x.
Підставивши це в формулу, ми отримуємо:
x_{n+1} = x_n - \frac{(x_n^2 - S)}{2x_n} = x_n - \frac{x_n}{2} + \frac{S}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{S}{2x_n} = \frac{(x_n + S/x_n)}{2}
Як бачимо, формула методу Ньютона для знаходження квадратного кореня збігається з Вавилонським методом. Це підкреслює їхню спорідненість.
3. Метод довгого ділення
Цей метод схожий на традиційне ділення, але має свої особливості. Він дозволяє отримати корінь з будь-якою точністю, крок за кроком знаходячи кожну наступну цифру.
Приклад (√17):
* Розбийте число на пари: 17.00 00 00.
* Знайдіть першу цифру: Знайдіть найбільше ціле число, квадрат якого не перевищує 17. Це 4 (4^2=16). Запишіть 4 у результат.
* Відніміть квадрат: 17 - 16 = 1. Знесіть наступну пару цифр (00), отримавши 100.
* Знайдіть наступну цифру: Подвійте результат (4 × 2 = 8). Додайте до 8 цифру, а потім помножте на неї ж, щоб результат був якомога ближчим до 100, але не перевищував його. Це 1 (81 \times 1 = 81). Запишіть 1 у результат (отримаємо 4.1).
* Повторіть: 100 - 81 = 19. Знесіть наступну пару (00), отримавши 1900. Подвійте поточний результат (41 × 2 = 82). Знайдіть нову цифру: 822 \times 2 = 1644. Запишіть 2 у результат (отримаємо 4.12).
4. Метод підбору та інтерполяції
Цей метод найпростіший для розуміння і ідеально підходить для швидкого, хоча й менш точного, наближення.
Принцип: Знайдіть два числа, між квадратами яких знаходиться ваше число. Потім використовуйте пропорції, щоб оцінити його значення.
Приклад (√17):
* Знайдіть сусідні квадрати:
* 4^2 = 16
* 5^2 = 25
* \sqrt{17} знаходиться між 4 і 5, але ближче до 4.
* Інтерполяція:
* Різниця між 17 і 16 становить 1.
* Різниця між 25 і 16 становить 9.
* Значення 17 знаходиться на відстані 1/(9) від 16.
* Оцінка:
* Додайте цю пропорцію до нижньої межі: 4 + 1/9 \approx 4.11.
Цей метод дає швидку оцінку, але є менш точним, ніж два попередні, які дозволяють досягти будь-якої бажаної точності.
Коментарі
Дописати коментар